“生日双胞胎”需要多大的群体才能存在？

如果你在一个随机的人群中，那么其中两个人生日相同的可能性有多大？ （图片来源：Jovanmandic via Getty Images）

这是一个有趣的脑筋急转弯：随机一群人必须有多大才能有 50% 的机会至少有两个人会共享一个生日？答案是23，这让很多人感到惊讶。这怎么可能？

在思考这个在统计学上被称为“生日问题”或“生日悖论”的问题时，很多人直觉地猜测 183，因为这是所有可能生日的一半，因为一年通常有 365 天。不幸的是，直觉在这类统计问题上往往表现不佳。

“我喜欢这些类型的问题，因为它们说明人类通常不擅长概率，导致他们做出错误的决定或得出错误的结论，”Jim Frost，一位统计学家，他写了三本关于统计和是美国质量协会统计文摘的定期专栏作家，他在一封电子邮件中说。 “此外，它们展示了数学对改善我们的生活有多么有益。因此，这些问题的违反直觉的结果很有趣，但它们也有目的。”

为了计算生日问题的答案，弗罗斯特从几个假设开始。 首先，他忽略了闰年，因为这简化了数学运算并且不会对结果产生太大影响。 他还假设所有的生日都有平等的机会发生。

如果您从一组两人开始，第一个人与第二个人不共享生日的机会是 364/365。因此，他们共享生日的可能性是 1 减 (364/365)，或大约 0.27% 的概率。

如果您假设一组三人，则前两个人涵盖两个日期。这意味着第三个人不与其他两个人共享生日的机会是 363/365。因此，他们共享同一生日的可能性是 1 减去 (364/365) 乘以 (363/365) 的乘积，即概率约为 0.82%。

一个群体中的人越多，至少有一对人共享一个生日的机会就越大。 Frost 指出，如果有 23 个人，则有 50.73% 的机会。 57个人，有99%的概率。

“我收到了来自大学统计学教授的消息，他们会在一个特定的统计学课上赌两个人在同一天生日，赌注 20 美元，”弗罗斯特说。 “考虑到与生日问题相关的概率，他知道他几乎肯定会赢。但每个学期，学生们总是赌输！幸运的是，他说他会退还钱，然后教他们如何解决生日问题问题。”

生日问题的答案感觉违反直觉可能有几个原因。一个是人们可能会无意识地计算小组中其他人生日的可能性，而不是实际的问题，即小组中的任何人是否共享生日，弗罗斯特说。

“第二，我认为他们也从类似的东西开始，嗯，一年有 365 天，所以你可能需要大约 182 人才能有 50% 的机会，”弗罗斯特说。 “但最重要的是，他们大大低估了概率随群体规模增加的速度。可能配对的数量随着群体规模呈指数增长。在理解指数增长方面，人类是可怕的。”

Frost 指出，生日问题在概念上与另一个指数增长问题有关。 “为了换取一些服务，假设您在第一天获得 1 美分，第二天 2 美分，第三天 4 美分，8 美分，16 美分等等，持续 30 天，”弗罗斯特说。 “这是一笔划算的交易吗？大多数人认为这是一笔糟糕的交易，但由于指数级的增长，在第 30 天你将总共获得 1070 万美元。”